7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một một trong những kiến thức nói cách khác quan trọng duy nhất trong trương trình toán lớp 7 và những cấp về sau. Trong bài xích ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi kiếm hiểu về 7 hằng đẳng thức lưu niệm và các dạng biến đổi tương đương của chúng. Dường như sẽ rèn luyện áp dụng các hằng đẳng thức vào làm hầu hết dạng bài tập cơ bản.

Bạn đang xem: Bài tập về hằng đẳng thức

1. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Cho nhì biểu thức A cùng B. Từ hai biểu thức này, ta rất có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:

(A + B)² = A² + 2AB + B² (A – B)² = A²  – 2AB + B²

⇒ A² +B² = (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB

(A + B)(A – B) = A² – B²(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A² – B³(A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³(A – B)( A² + AB + B²) = A³ –B³

2. Bài xích tập vận dụng:

Bài tập 1: áp dụng 7 hằng đẳng thức Viết những biểu thức sau dưới dạng tổng

(2x + 1)²(2x + 3y)²(x + 1)(x – 1)m² – n²(5x + 3yz)²(yx – 3ab)²(x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)(9x + 3)²(xy + 2yz)²

Lời giải

(2x+1)² = 4x²+ 4x +1(2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²(x+1)(x-1) = x²-1m² – n² = (m – n)(m + n)(5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²(yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²(x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x>xˆ4+27(9x+3)² = 81x² + 54x + 9(xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²

Bài tập 2: sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:

A=(x+y)² – (x-y)²

*Cách 1: triển khai từng hằng số trong biểu thức B bởi hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy

*Cách 2: thực hiện hằng đẳng thức A²–B = (A + B)(A – B)

A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²

*Cách 1: triển khai từng hằng số vào biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²

*Cách 2: 

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²

Bài tập 3: Tính nhanh những biểu thức sau

 153² + 94.153 + 47² 126² – 126.152 + 5776

Lời giải:

153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²

3. Các dạng biến đổi cần lưu ý

Chú ý phép tính toán, nhân đối chọi thức với nhiều thức, nhân nhiều thức với đa thức, thực thi hằng đẳng thức. Các bài toán yêu cầu viết lại biểu thức. (Cần xem xét các phép tắc về nhân 1-1 đa thức với học ở trong 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ. để ý về vết của số hạng cùng dấu của các phép toán.Có thể áp dụng các đặc thù về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để search raBài tập về tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Bọn họ thực hiện nay bước trước tiên là đổi khác biểu thức yêu mong về dạng M = A² + B trong đó A là 1 trong biểu thức chứa đổi mới và B là một số trong những hoặc một biểu thức số độc lập. Theo đặc thù về bình phương của số đông số thực luôn luôn không âm nên luôn luôn luôn tất cả A² ≥ 0 với mọi giá trị của biến chuyển số, vì thế A² + B ≥ B cần biểu thức có mức giá trị nhỏ dại nhất bằng B. Lốt = xẩy ra khi A = 0.Bài tập về tìm giá bán trị lớn số 1 của một biểu thức. Biến đổi biểu thức yêu mong về dạng M = -A² + B trong các số đó A là một trong những biểu thức chứa biến đổi và B là một số hoặc một biểu thức số độc lập. Theo tính chất về bình phương của rất nhiều số thực luôn luôn không âm nên luôn luôn luôn gồm A² ≥ 0 với đa số giá trị của đổi thay số, cho nên -A² + B ≤ B cần biểu thức có giá trị lớn nhất bằng B. Vết = xảy ra khi A=0.

Chú ý: phụ thuộc vào 7 hằng đẳng thức lưu niệm trên ta còn tồn tại thể chuyển đổi và suy ra các đẳng thức tương đương như sau:

*

Từ hằng đẳng thức 1); 2); 3) ta rất có thể mở rộng lớn thêm những đẳng thức sau:

*

*

*

*

*

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= <(x + y) + (x – y)>2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= <(x – y + z) + (y – z)>2 = x2

Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 phân tách cho 5 dư 1.

Xem thêm: Sơ Đồ Tư Duy Khái Quát Văn Học Việt Nam Từ Cách Mạng Tháng Tám Năm 1945 Đến Hết Thế Kỉ 20

Lời giải:

Số thoải mái và tự nhiên a phân tách cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia đến 5 dư 1.

Câu 6: Tính quý giá của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 trên x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, nuốm x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)<(a – b)2 + ab> = (a + b) = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3