+ Tần số góc: \(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{g}{{\Delta {l_0}}}} = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi f\)

+ Chu kì: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt {\frac{{\Delta {l_0}}}{g}} \)

+ Tần số: \(f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{\Delta {l_0}}}} \)

Với \(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k}\) là độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập con lắc lò xo

*Bài toán ghép vật

- Lò xo K gắn vật nặng m1 thì dao động với chu kì T1. Còn khi gắn vật nặng m2 thì dao động với chu kì T2. Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m1 + m2 là:

\({T^2} = T_1^2 + T_2^2\)

Tổng quát:

+ Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng \(m = {m_1} + {m_2} + ... + {m_n}\) là:

\({T^2} = T_1^2 + T_2^2 + ... + T_n^2\)

+ Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a.m1 + b.m2 là:

\({T^2} = aT_1^2 + bT_2^2\)

- Lò xo K gắn vật nặng m1 thì dao động với chu kì f1. Còn khi gắn vật nặng m2 thì dao động với chu kì f2. Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m1 + m2 là:

\(f = \frac{{{f_1}{f_2}}}{{\sqrt {f_1^2 + f_2^2} }}\)

Tổng quát:

+ Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng \(m = {m_1} + {m_2} + ... + {m_n}\) là:

\(\frac{1}{{{f^2}}} = \frac{1}{{f_1^2}} + \frac{1}{{f_2^2}} + ... + \frac{1}{{f_n^2}}\)

+ Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a.m1 + b.m2 là:

\(\frac{1}{{{f^2}}} = \frac{{{a}}}{{f_1^2}} + \frac{{{b}}}{{f_2^2}}\)

Bài tập ví dụ:

Bài 1: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 100 N/m được gắn vào vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg. Kích thích cho vật dao động điều hòa, xác định chu kì của con lắc lò xo.


Hướng dẫn giải

 Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}m = 0,1kg\\k = 100N/m\end{array} \right. \Rightarrow T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt {\frac{{0,1}}{{100}}} = 0,2 {\rm{s}}\)

Bài 2: Một lò xo có độ cứng là k. Khi gắn vậ m1 vào lò xo và cho dao động thì chu kì là 0,3 s. Khi gắn vật có khối lượng m2 vào lò xo trên và kích thích cho dao động thì nó dao động với chu kì là 0,4s. Hỏi nếu khi gắn vật có khối lượng m = 2m1 + 3m2 thì nó dao động với chu kì là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Khi đó chu kì dao động của vật là:

\({T^2} = 2T_1^2 + 3T_2^2 \\\Leftrightarrow T = \sqrt {2T_1^2 + 3T_2^2} \\= \sqrt {2.0,{3^2} + 3.0,{4^2}} = 0,812s\)

Dạng 2: Chiều dài CLLX - lực đàn hồi, lực hồi phục của con lắc lò xo

1. Tính chiều dài của lò xo trong quá trình vật dao động

Gọi chiều dài tự nhiên của lò xo là l0.


- Khi con lắc lò xo nằm ngang:


*

+ Lúc vật ở VTCB, lò xo không bị biến dạng, 

+ Chiều dài cực đại của lò xo: \({l_{{\rm{max}}}} = {l_0} + A\)

+ Chiều dài cực tiểu của lò xo: \({l_{{\rm{min}}}} = {l_0} - A\)

+ Chiều dài ở li độ x: \(l = {l_0} + x\)

- Khi con lắc lò xo bố trí thẳng đứng hoặc nằm nghiêng một góc αvà treo ở dưới.


*

+ Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB: 

Con lắc lò xo treo thẳng đứng: \(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k}\)Con lắc lò xo nằm nghiêng góc α: \(\Delta {l_0} = \frac{{mg\sin \alpha }}{k}\)

+ Chiều dài lò xo khi vật ở VTCB: \({l_{vtcb}} = {l_0} + \Delta l\)

+ Chiều dài ở li độ x: \(l = {l_0} + \Delta {l_0} + x\)

+ Chiều dài cực đại của lò xo: \({l_{{\rm{max}}}} = {l_0} + \Delta {l_0} + A\)

+ Chiều dài cực tiểu của lò xo: \({l_{{\rm{min}}}} = {l_0} + \Delta {l_0} - A\)


2. Lực kéo về

\(F{\rm{ }} = - {\rm{ }}kx{\rm{ }} = - {\rm{ }}m{\omega ^2}x\)

Đặc điểm:

* Là lực gây dao động cho vật.

* Luôn hướng về VTCB

* Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ

3. Lực đàn hồi - Lực hồi phục cực đại, cực tiểu.

Có độ lớn \({F_{dh}} = {\rm{ }}k{x^*}\) (x* là độ biến dạng của lò xo)

- Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo không biến dạng)


*

- Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng:


*

+ Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:

\({F_{dh}} = {\rm{ }}k|\Delta {l_0} + {\rm{ }}x|\) với chiều dương hướng xuống\({F_{dh}} = k\left| {\Delta {l_0} - {\rm{ }}x} \right|\) với chiều dương hướng lên

+ Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): \({F_{{\rm{max}}}} = k\left( {\Delta {l_0} + A} \right) = {F_{Km{\rm{ax}}}}\) (lúc vật ở vị trí thấp nhất)

+ Lực đàn hồi cực tiểu:

Nếu\(A{\rm{ }} Nếu \(A{\rm{ }} \ge \Delta {l_0} \to {F_{Min}} = 0\) (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)

+ Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: ${F_{Nm{\rm{ax}}}} = k\left( {A - \Delta {l_0}} \right)$ (lúc vật ở vị trí cao nhất)

+ Lực đàn hồi, lực hồi phục:

Lực đàn hồi:

\(\begin{array}{l}{F_{dh}} = k(\Delta l + x){\rm{ }}\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{d{h_{{\rm{Max}}}}}} = k(\Delta l + A){\rm{ }}}\\{{F_{d{h_{\min }}}} = k(\Delta l - A){\rm{ khi }}\Delta l > A}\\{{F_{d{h_{\min }}}} = 0{\rm{ khi}}\Delta {\rm{l}} \le {\rm{A }}}\end{array}} \right.{\rm{ }}\end{array}\)

 Lực hồi phục: \({F_{hp}} = kx{\rm{ }} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{h{p_{{\rm{Max}}}}}} = kA}\\{{F_{h{p_{\min }}}} = 0{\rm{ }}}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)hay\({F_{hp}} = ma{\rm{ }} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_{h{p_{{\rm{Max}}}}}} = m{\omega ^2}A}\\{{F_{h{p_{\min }}}} = 0{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)

+ Lực hồi phục luôn hướng vào vị trí cân bằng.


*

Bài tập ví dụ: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên là 30 cm, độ cứng của lò xo là k = 10 N/m. Treo vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg vào lò xo và kích thích cho lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 5cm. Xác định lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động của vật.

Xem thêm: Hình Nền Đôi Tình Nhân - Hình Nền Cặp Đôi Tình Yêu

Hướng dẫn giải

Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB là:

\(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,1.10}}{{10}} = 0,1m\)

Lực đàn hồi cực đại:

\({F_{\max }} = k\left( {\Delta {l_0} + A} \right) = 10.\left( {0,1 + 0,05} \right) = 1,5N\)

Lực đàn hồi cực tiểu:

\({F_{\min }} = k\left( {\Delta l - A} \right) = 10.\left( {0,1 - 0,05} \right) = 0,5N\)

Dạng 3. Bài tập năng lượng của con lắc lò xo

Phương pháp

Cho một con lắc lò xo có độ cứng k, vật có khối lượng m, dao động điều hòa với phương trình : \(x = Ac{\rm{os(}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{)}}\) và có vận tốc: \(v = - A\omega \sin (\omega t + \varphi )\).


- Cơ năng: \(W = {W_d} + {W_t} = \dfrac{1}{2}m{v^2} + \dfrac{1}{2}k{x^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \dfrac{1}{2}k{A^2}\)

- Thế năng:

 \(\begin{array}{l}{W_t} = \dfrac{1}{2}k{x^2} = \dfrac{1}{2}k{A^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(\omega t + \varphi )\\ = W - {W_d} = \dfrac{1}{2}k{A^2} - \dfrac{1}{2}m{v^2}\end{array}\)

- Động năng:

\(\begin{array}{l}{W_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}(\omega t + \varphi )\\ = W - {W_t} = \dfrac{1}{2}k{A^2} - \dfrac{1}{2}k{x^2}\end{array}\)


- Đồ thị dao động:


- Xác định vận tốc- li độ:

Vận tốc: \({W_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} \to v = \pm \sqrt {\dfrac{{2{W_d}}}{m}} \)Li độ: \({W_t} = \dfrac{1}{2}k{x^2} \to x = \pm \sqrt {\dfrac{{2{W_t}}}{k}} \)

- Khi biết thế năng tại vị trí có li độ x gấp n lần động năng của vật: Wt = nWđ

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_t} = n{W_d}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{W_t} = \dfrac{n}{{n + 1}}W\\{W_d} = \dfrac{1}{{n + 1}}W\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x = \pm A\sqrt {\dfrac{n}{{n + 1}}} \\v = \pm \dfrac{{A\omega }}{{\sqrt {n + 1} }}\end{array} \right.\)

- Khi biết động năng tại vị trí có li độ x gấp n lần thế năng của vật: Wđ = nWt

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_d} = n{W_t}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{W_t} = \dfrac{1}{{n + 1}}W\\{W_d} = \dfrac{n}{{n + 1}}W\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{A}{{\sqrt {n + 1} }}\\v = \pm A\omega \sqrt {\dfrac{n}{{n + 1}}} \end{array} \right.\)