Chứng minh 4 điểm đồng phẳng

Cách chứng minh 4 điểm đồng phẳng, 3 mặt đường thẳng đồng quy

Cách chứng minh 4 điểm đồng phẳng, 3 đường thẳng đồng quy

A. Cách thức giải

+ Để minh chứng bốn điểm A; B; C; D đồng phẳng ta gồm thể chứng minh hai mặt đường thẳng AB với CD tuy nhiên song hoặc cắt nhau

+ Để chứng tỏ 3 con đường thẳng đồng quy ta chứng tỏ e mặt đường thẳng sẽ là giao đường của tía mặt phẳng minh bạch hoặc tìm kiếm giao điểm của hai tuyến đường thẳng và chứng tỏ điểm đó thuộc con đường thẳng còn lại.

Bạn đang xem: Chứng minh 4 điểm đồng phẳng

Liên quan: chứng tỏ 4 điểm đồng phẳng

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: mang đến hình chóp S.ABCD. điện thoại tư vấn M; N: P; Q, R; T theo thứ tự là trung điểm AC; BD, BC; CD; SA và SD. Bốn điểm nào dưới đây đồng phẳng?

A. M; P; R; T B. M; Q; T; R C. M; N; R; T D. P; Q; R; T

Lời giải

*

Chọn B

+ Ta bao gồm RT là đường trung bình của tam giác SAD bắt buộc RT // AD (1)

+ MQ là mặt đường trung bình của tam giác ACD đề nghị MQ // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: RT // MQ

Do kia 4 điểm M; Q; T; R đồng phẳng

Ví dụ 2: đến hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là một tứ giác lồi. Hotline M; N; E; F theo lần lượt là trung điểm của các lân cận SA; SB; SC; SD. Xác minh nào sau đó là đúng?

A. ME; NF; SO đôi một tuy vậy song (O là giao điểm của AC)

B. ME; NF; SO không đồng quy (O là giao điểm của AC cùng BD)

C. ME; NF; SO đồng quy (O là giao điểm của AC cùng BD)

D. ME; NF; SO song một chéo cánh nhau (O là giao điểm của AC và BD)

Lời giải

*

Chọn C.

+ trong (SAC); call I = ME ∩ SO

+ Xét tam giác SAC gồm ME là con đường trung bình phải ME // AC

⇒ mi // AO và M là trung điểm của SA

⇒ I là trung điểm của SO

suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD.

⇒ FI // OD (1)

+ tương tự như ta tất cả NI // OB (2)

Từ (1) với (2) suy ra: 3 điểm N; I; F trực tiếp hàng tốt I ∈ NF

Vậy ME; NF; SO đồng quy

Ví dụ 3: mang đến tứ diện ABCD hotline M; N: P; Q; R; S thứu tự là trung điểm của các cạnh AC; BD; AB; AD; BC; CD. Tư điểm nào dưới đây đồng phẳng?

A. P; Q; R; S

B. M; N; R; S

C. M; N;P; Q

D. M; P; R; S

Lời giải

*

Chọn A

+ vì chưng PQ là đường trung bình của tam giác ABD đề nghị PQ // BD

+ Tương tự, ta gồm RS // BD

Vậy PQ // RS phải 4 điểm P; Q; R; S cùng nằm bên trên một phương diện phẳng

+ những bộ bốn điểm M; N; R; S hoăc M; N; P; Q hoặc M; P; R; S hầu như không đồng phẳng

Ví dụ 4: mang lại hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 1 trong những tứ giác lồi. điện thoại tư vấn M; N; E; F theo lần lượt là trung điểm của các kề bên SA; SB; SC; SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tứ điểm M; N; E; F đồng phẳng

B. Tư điểm M; N; E; F ko đồng phẳng

C. MN, EF chéo cánh nhau.

D. Cả A, B, C các sai

Lời giải

*

Chọn A

+ vào ( SAC); hotline I = ME ∩ SO

+ Xét tam giác SAC bao gồm ME là mặt đường trung bình nên ME // AC.

⇒ mi // AO cùng M là trung điểm của SA

⇒ I là trung điểm của SO

suy ra FI là mặt đường trung bình của tam giác SOD.

⇒ FI // OD. (1)

+ tương tự ta tất cả NI // OB (2)

Từ (1) với (2) suy ra: 3 điểm N; I; F thẳng hàng tốt I ∈ NF

Do ME ∩ NF = I buộc phải ME và NF khẳng định một mặt phẳng

Suy ra 4 điểm M; N; E, F đồng phẳng

Ví dụ 5: cho hình chóp A.BCD; gọi M, N theo lần lượt là trung điểm của BD, BC. Gọi G1, G2 theo thứ tự là giữa trung tâm tam giác ABD với ABC. Kiếm tìm mệnh đề đúng?

A. MN cùng G1G2 chéo cánh nhau

B. G1 ,G2, M, N đồng phẳng

C. G2M với G1N chéo cánh nhau

D. Toàn bộ sai

Lời giải

+ Xét tam giác AMN ta có:

(AG1)/AM = (AG2)/AN = 2/3 (tính chất trọng tâm tam giác)

⇒ MN // G1G2

Do đó; 4 điểm M,N, G1 , G2 đồng phẳng với 2 đường thẳng G2M, G1N sẽ giảm nhau.

Chọn B

Ví dụ 6: đến tứ diện ABCD gồm M; N thứu tự thuộc AB; DB làm sao cho MN // AD. Call I là trung điểm BC. Call HK là giao tuyến đường của mp(CNM) với mp(AID). Kiếm tìm mệnh đề sai?

A. HK // AD

B. HK // MN

C. K; H; N; M đồng phẳng

D. A hoặc B không nên

Lời giải

+ Xét nhì mp (CNM) cùng mp (AID) có:

*

⇒ HK // AD // MN (hệ quả)

+ vị HK // NM nên 4 điểm H; K; N; M đồng phẳng

Chọn D

Ví dụ 7: đến tứ diện ABCD cùng 3 điểm P; Q với R theo thứ tự nằm trên ba cạnh AB; CD và BC. Biết PR giảm AC trên I. Khẳng định giao điểm S của mp(PQR) với cạnh AD.

A. Là giao điểm của QI với AC

B. Là giao điểm của QI và AD

C. Là giao điểm của RI cùng AD

D. Là giao điểm của PI cùng AD

Lời giải

+ Xét giao tuyến đường của 3 mp(ABC); mp(ACD) cùng (PQR):

(ABC) ∩ (ACD) = AC

(ABC) ∩ (PQR) = PR

(ACD) ∩ (PQR) = d, trong các số ấy d đi qua Q.

⇒ cha mp( ABC); mp( ACD) với mp(PQR) cắt nhau theo 3 giao con đường là AC; PR và d.

Lại có: truyền bá ∩ AC = I

⇒ tía đường thẳng AC; PR cùng d đồng quy tại I

⇒ Đường trực tiếp d là đường thẳng QI.

+ khi đó; giao điểm của QI cùng AD đó là điểm S yêu cầu tìm.

Chọn B

Ví dụ 8: mang đến tứ diện ABCD. Hotline G cùng J thứu tự là trung tâm tam giác BCD cùng tam giác ACD. Hotline M và N theo lần lượt là trung điểm của BC với AC. Tứ điểm nào dưới đây không đồng phẳng?

A. G; J; A; B

B. A; B; M; N

C. G; J; M; N

D. M; N; K; J

Lời giải

+ gọi K là trung điểm của CD.

+ vì G với J theo lần lượt là giữa trung tâm tam giác BCD cùng tam giác ACD.

⇒ KG/KB = KJ/KA = 1/3

⇒ GJ // AB (định lí Ta-let đảo) (1)

+ Xét tam giác ABC bao gồm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác AB

⇒ MN // AB (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra: GJ // AB // MN

⇒ tư điểm G; J; A; B đồng phẳng

Bốn điểm G; J; M; N đồng phẳng

Bốn điểm A; B; M; N đồng phẳng

Ví dụ 9: cho hình chóp S.ABCD bao gồm đáy ABCD là hình chữ nhật. điện thoại tư vấn M, N, E, F thứu tự là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Gọi O là giao điểm của AC với BD. Search mệnh đề sai?

A. Tứ điểm M, N, E, F đồng phẳng

B. Bố đường trực tiếp ME; NF; SO đồng qui

C. MN // EF

D. Tất cả đúng nhì mệnh đề đúng

Lời giải

*

Gọi M’; N’; E’; F’ theo thứ tự là trung điểm những cạnh AB; BC; CD cùng DA

+ Ta bao gồm SM/SM’ = 2/3, SN/SN’ = 2/3 ⇒ SM/SM’ = SN/SN’

⇒ MN // M’N’ ( định lí Ta let đảo) (1)

+ giống như SE/SE’ = SF/SF’ ⇒ EF || E’F’ (2)

+ lại sở hữu

*

Từ (1); (2) với (3) suy ra MN // EF

Vậy tư điểm M; N; E cùng F đồng phẳng.

+ dễ thấy M’N’E’F’ cũng là hình bình hành cùng O = M’E’ ∩ N’F’

Xét tía mặt phẳng (M’SE’),(N’SF’) và (MNEF) ta tất cả :

(M’SE’) ∩ (N’SF’) = SO

(M’SE’) ∩ (MNEF) = ME

(N’SF’) ∩ (MNEF) = NF

ME ∩ NF = I.

Do đó theo định lí về giao đường của tía mặt phẳng thì tía đường thẳng ME; NF; SO đồng qui

⇒ A; B, C đúng ; D sai

Chọn D

C. Bài bác tập trắc nghiệm

Câu 1: cho hình chóp S.ABCD. Gọi M ; N ; p ; Q ; R ; T thứu tự là trung điểm AC ; BD, BC, CD,SA, SD. Kiếm tìm mệnh đề sai?

A. 4 điểm R, T, Q, M đồng phẳng

B. RQ với TM giảm nhau

C. PN // CD

D. RM cùng TQ giảm nhau

Câu 2: mang đến hình lăng trụ ABC.A’B’C’. điện thoại tư vấn M; M’ lần lượt là trung điểm của BC cùng B’C’; hotline G, G’ theo lần lượt là trung tâm tam giác ABC và A’B’C’. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?

A. A ; G ; G’, C’ B. A, G, M’, B’ C. A’, G’, M, C D. A, G’, M’, G

Câu 3: đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình thang (AB // CD ). Gọi M với N lần lượt là trung điểm của SA và SB; G là trung tâm tam giác SCD. Tư điểm nào tiếp sau đây đồng phẳng?

A. G, C, S, B B. M, N, C, D C. G, C, A, B D. M, N, G, B.

Câu 4: cho tứ diện ABCD gồm M thuộc cạnh AB sao cho AM = 3MB; N nằm trong AC sao để cho AC = 4 NC; H thuộc AD sao cho HD = 3 AH. Gọi phường và Q theo thứ tự là trung điểm của BD với CD. Tứ điểm nào sau đây đồng phẳng?

A. M, N, H, A B. M, N, P, Q C. P, Q, N, H D. H, Q, M, N

Câu 5: mang lại tứ diện ABCD đều. Call M, AN, P, Q, H, K theo lần lượt là trung điểm của AB, AD, CD, BC, AC với BD. Ban mặt đường thẳng nào dưới đây đồng quy?

A. MP, NQ, BN

B. HK, MP, NC

C. MP, NQ, HK

D. HK, NQ, CM

Câu 6: mang đến tứ diện ABCD. Gọi M , N, P, Q, R, S theo lần lượt là trung điểm của AB; CD; BC; DA; AC cùng BD. Hỏi cha đường thẳng nào tiếp sau đây đồng quy.

A. MN, PQ, RS

B. MN; PR; QS

C. MP; NA; RS

D. MR; NS; PQ

Câu 7: cho hình chóp S.ABCD. Một khía cạnh phẳng (P) cắt các cạnh SA; SB; SC và SD lần lượt tại A’; B’; C’ với D’. Cha đường thẳng nào sau đây đồng qui?

A. SO; A’C; C’D

B. SO; AC’; B’D’

C. A’C’; B’D; CD’

D. SO; A’C’; B’D’

Câu 8: đến hình chóp S.ABCD; một mp (P) trải qua D cùng C cắt SA trên A’. điện thoại tư vấn giao điểm của A’C với SO là I; giao điểm của AC với BD là O. Tìm kiếm mệnh đề sai?

A. Bố điểm A’; I và C trực tiếp hàng.

B. Tía đường trực tiếp SO; A’C với B’D đồng quy.

Xem thêm: Cách Xét Dấu Của Tam Thức Bậc Hai, Cách Xét Dấu Của Tam Thức Bậc 2

C. DI giảm SB.

D. Có đúng nhì mệnh đề đúng

Câu hỏi trắc nghiệm triết lý về hai tuyến đường thẳng tuy nhiên song trong không gian Cách chứng tỏ hai con đường thẳng tuy vậy song trong ko gian Cách minh chứng 4 điểm đồng phẳng, 3 mặt đường thẳng đồng quy Cách tìm giao tuyến đường của 2 phương diện phẳng đựng 2 con đường thẳng tuy nhiên song Tìm tiết diện của hình chóp cắt vày mặt phẳng đựng đường thẳng tuy nhiên song với mặt đường thẳng khác

Giới thiệu kênh Youtube VietJack