1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được điện thoại tư vấn là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K trường hợp F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.Bạn đã xem: Nguyên hàm của e nón căn x

2. đặc thù nguyên hàm

Nguyên hàm có 3 tính chất đặc trưng cần nhớ:


*

*

*

3. Các cách thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương thức ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi phát triển thành tổng quát

Bước 1: lựa chọn t = φ(x). Trong số đó φ(x) là hàm số nhưng mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ"(x)dxBước 3: bộc lộ f(x)dx = gφ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: lựa chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: bộc lộ $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến tấu 1


*

c) Đổi biến dị 2


*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần


Nguyên tắc chung để đặt u cùng dv: tìm được v dễ dãi và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: sản phẩm công nghệ tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhị đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, các chất giác, hàm mũ).

Bạn đang xem: Nguyên hàm của e mũ căn x

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy search f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình sẽ hướng dẫn phương pháp bấm laptop nguyên hàm nhanh theo 3 cách sau:

Bước 1: dấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: thừa nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá chỉ nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bởi 0 ) thì chính là đáp án cần chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm trang bị tính

Bước 1: Nhập vào máy vi tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( 2x + 3 ight ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A với C nếu cho X = 2 thì mọi cho công dụng là 0. Vậy khi bao gồm trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất thì cho X một giá trị cho biểu thức trong trị tuyệt đối âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Xem thêm: Cô Vợ Ngọt Ngào Có Chút Bất Lương, (Vợ Mới Bất Lương Có Chút Ngọt)

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Cách 2: Sử dụng phương thức hệ số bất định, triển khai theo quá trình sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong số đó $A(x)$ với $B(x)$ là các đa thức cùng bậc với $P(x).$ Bước 2: đem đạo hàm nhị vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương thức hệ số cô động ta xác định được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: trường hợp bậc của đa thức to hơn $3$ thì giải pháp 1 tỏ ra cồng kềnh, vì khi ấy ta triển khai số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của nhiều thức, vì thế ta đi đến đánh giá như sau:

Nếu bậc của nhiều thức nhỏ hơn hoặc bằng $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của nhiều thức lớn hơn hoặc bởi $3$: Ta sử dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo thừa nhận xét trên, ta sử dụng cách thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = cosx$$ – sin x$ $(2).$

Đồng độc nhất vô nhị thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$