Công thức nguyên hàm từng phần

cách thức nguyên hàm từng phần hay được sử dụng để tìm tích phân bất định của những hàm số phức hợp như vừa đựng hàm vô tỉ và hàm lượng giác, hoặc cất hàm logarit và hàm vô tỉ, tốt hàm mũ,…

đến 2 hàm số u = u (x) cùng v = v (x) tất cả đạo hàm bên trên tập K. Khi đó ta tất cả công thức tính nguyên hàm từng phần như sau:

*

Nguyên hàm từng phần là gì?

Cho nhị hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tiếp trên K ta tất cả công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.

Bạn đang xem: Nguyên hàm udv

Chú ý: Ta hay sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần trường hợp nguyên hàm có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.

Để tính nguyên hàm ∫f(x).g(x)dx từng phần ta có tác dụng như sau:

– cách 1. Đặt 

*

 (trong đó G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số g(x))

– cách 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

∫f(x).g(x)dx=f(x).G(x)−∫G(x).f′(x)dx.

Chú ý: Khi I=∫f(x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm con số giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u.

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)

Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)

Tức là hàm số như thế nào đứng trước trong lời nói trên ta đang đặt u bằng hàm đó. Bài tập:

Nếu f(x) là hàm log, g(x) là một trong các 3 hàm còn lại, ta vẫn đặt
*
Tương từ bỏ nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm đa thức, ta đã đặt 
*

Một số dạng nguyên hàng từng phần hay gặp

Dạng 1: I = ∫P(x)ln(mx+n)dx, trong đó P(x) là đa thức.

Theo luật lệ ta đặt 

*

Dạng 2: 

*

trong đó P(x) là nhiều thức.

Theo quy tắc ta đặt 

*

Dạng 3: I = ∫P(x)eax+bdx, trong đó P(x) là đa thức

Theo phép tắc ta đặt 

*

Dạng 4: 

*

Theo nguyên tắc ta đặt 

*

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số bao gồm dạng sau f(x) = lnx

Lời giải

Dựa theo cách thức trên, ta làm cho như sau

Bước 1: Đầu tiên ta phải đặt

*

Khi đó:

*

 Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau

*

với f(x) là 1 trong hàm của nhiều thức.

Phương pháp giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt

*

– Bước 2: phụ thuộc vào việc đặt tại trên, ta suy ra

*

Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau làm cho 1 ví dụ dưới đây nhé:

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Lời giải

Dựa vào phương thức giải sinh sống trên chúng ta dễ thấy

*

Bước 1: Ta tiến hành đặt biểu thức dạng

*

Bước 2: Theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

*

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ A=∫f(x)eax+b dx với f(x) là 1 hàm nhiều thức.

Xem thêm: Uống Nhiều Nước Đỗ Đen Có Tác Dụng Gì ? Cách Làm Nước Đậu Đen Rang

Phương pháp:

– Bước 1: Ta triển khai đặt

*

– Bước 2: dựa vào việc đặt tại bước 1, ta có: ∫f(x)e ax+b dx=uv–∫vdu

Để hiểu hơn về dạng toán này, ta cùng mọi người trong nhà xem ví dụ sau đây

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau I=∫xexdx

Lời giải

Dựa theo cách thức trên, ta triển khai đặt

*

Theo cách làm tính nguyên hàm từng phần, ta có:

*

Dạng 3: Hàm số lượng giác với hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

*

Lời giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

*

– Bước 2: nhờ vào việc đặt ở bước 1, ta biến hóa thành

*

Để hiểu hơn lấy ví dụ như này, ta bên nhau xem lấy ví dụ như sau đây.

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm vị giác sau A=∫xsinxdx

Lời giải

Đây là một trong những nguyên hàm phối hợp giữa nguyên các chất giác, các bạn hãy làm như sau:

Dựa theo cách thức trên, ta đặt như sau

*

Theo bí quyết nguyên hàm từng phần ta có:

*

Dạng 4: Hàm số lượng giác cùng hàm số mũ

Hãy tính nguyên hàm phối kết hợp giữa hàm số lượng giác với hàm số mũ

*

Các cách giải như sau:

– Bước 1: Ta thực hiện đặt như sau

*

– Bước 2: lúc đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát uv–∫vdu

Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên phải lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Xung quanh ra, ở bước 1 ta có thể đặt không giống chút bằng cách đặt

*

Để giúp cho bạn hiểu rộng dạng toán này, mời chúng ta theo dõi một lấy ví dụ như đưới dây nha:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e nón sau đây I=∫sinx.exdx

Lời giải

Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm lượng giác, nguyên hàm của e mũ u. Các bạn hãy làm như sau: