Bài viết phía dẫn cách thức giải và biện luận phương trình hàng đầu đối với sinx và cosx.
Bạn đang xem: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
I. PHƯƠNG PHÁPBài toán: Giải và biện luận phương trình: $asin x + bcos x = c$ $(1).$PHƯƠNG PHÁP CHUNG:Ta có thể lựa lựa chọn một trong các cách sau:Cách 1: thực hiện theo các bước:+ cách 1. Kiểm tra:1. Trường hợp $a^2 + b^2 2. Ví như $a^2 + b^2 ge c^2$, khi đó để tìm nghiệm của phương trình $(1)$ ta thực hiện tiếp bước 2.+ cách 2. Phân tách hai vế phương trình $(1)$ đến $sqrt a^2 + b^2 $, ta được:$fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x$ $ = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Vì $left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1$ yêu cầu tồn trên góc $eta $ sao để cho $fracasqrt a^2 + b^2 = cos eta $, $fracbsqrt a^2 + b^2 = sin eta .$Khi kia phương trình $(1)$ có dạng:$sin xcos eta + sin eta cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 $ $ Leftrightarrow sin (x + eta ) = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Đây là phương trình cơ bản của sin.
Cách 2: Thực theo những bước:+ Bước 1. Với $cos fracx2 = 0$ $ Leftrightarrow x = pi + 2kpi $, đánh giá vào phương trình.+ Bước 2. Với $cos fracx2 e 0$ $ Leftrightarrow x e pi + 2kpi $, đặt $t = an fracx2$, suy ra:$sin x = frac2t1 + t^2$ cùng $cos x = frac1 – t^21 + t^2.$Khi kia phương trình $(1)$ bao gồm dạng:$a.frac2t1 + t^2 + b.frac1 – t^21 + t^2 = c$ $ Leftrightarrow (c + b)t^2 – 2at + c – b = 0$ $(2).$+ Bước 3. Giải phương trình $(2)$ theo $t.$
Cách 3: Với hầu như yêu mong biện luận số nghiệm của phương trình trong $(alpha ,eta )$, ta rất có thể lựa chọn phương pháp hàm số thiết bị thị.
Cách 4: Với đầy đủ yêu ước biện luận đặc thù nghiệm của phương trình trong $(alpha ,eta )$, ta có thể lựa chọn cách thức điều kiện phải và đủ.
Nhận xét quan lại trọng:1. Giải pháp 1 hay được sử dụng với những bài toán yêu ước giải phương trình với tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải với biện luận phương trình theo tham số.2. Bí quyết 2 thường được sử dụng với những bài toán yêu ước giải phương trình với tìm đk của tham số để phương trình bao gồm nghiệm trực thuộc tập $D$ cùng với $D subset <0,2pi >.$3. Bí quyết 3 thường được áp dụng với những bài toán yêu ước biện luận theo tham số để phương trình có $k$ nghiệm ở trong tập $D$ với $D cap <0,2pi > e emptyset .$4. Từ biện pháp giải 1 ta bao gồm được tác dụng sau:$ – sqrt a^2 + b^2 $ $ le asin x + bcos x$ $ le sqrt a^2 + b^2 .$Kết quả đó lưu ý cho việc về giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ nhất của những hàm số dạng $y = asin x + bcos x$, $y = fracasin x + bcos xcsin x + dcos x$ và cách thức đánh giá cho một số trong những phương trình lượng giác.
Dạng quánh biệt:+ $sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – fracpi 4 + kpi $, $k in Z.$+ $sin x – cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $, $k in Z.$
Ví dụ 1: Giải phương trình: $sqrt 3 sin 3x + cos 3x = sqrt 2 .$
Biến đổi phương trình về dạng:$fracsqrt 3 2sin 3x + frac12cos 3x = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow sin 3xcos fracpi 6 + cos 3xsin fracpi 6 = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow sin left( 3x + fracpi 6 ight) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20c3x + fracpi 6 = fracpi 4 + 2kpi \3x + fracpi 6 = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 36 + frac2kpi 3\x = frac7pi 36 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: $3sin x – 4cos x = – frac52.$
Biến đổi phương trình về dạng:$frac35sin x – frac45cos x = – frac12.$Đặt $frac35 = cos alpha $ và $frac45 = sin alpha $, lúc đó ta được:$sin xcos alpha – cos xsin alpha = – frac12$ $ Leftrightarrow sin (x – alpha ) = sin left( – fracpi 6 ight)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – alpha = – fracpi 6 + 2kpi \x – alpha = pi + fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha – fracpi 6 + 2kpi \x = frac5pi 6 + alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai bọn họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: $sin 2x – 3cos 2x = 3.$
Ta hoàn toàn có thể lựa chọn 1 trong hai cách sau:Cách 1: thay đổi phương trình về dạng:$frac1sqrt 10 sin 2x – frac3sqrt 10 cos 2x = frac3sqrt 10 .$Đặt $frac1sqrt 10 = cos alpha $ và $frac3sqrt 10 = sin alpha $, khi kia ta được:$sin 2xcos alpha – cos 2xsin alpha = sin alpha $ $ Leftrightarrow sin (2x – alpha ) = sin alpha $ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – alpha = alpha + 2kpi \2x – alpha = pi – alpha + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + kpi \x = fracpi 2 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai chúng ta nghiệm.Cách 2: thay đổi phương trình về dạng:$sin 2x = 3(1 + cos 2x)$ $ Leftrightarrow 2sin xcos x = 6cos ^2x$ $ Leftrightarrow (sin x – 3cos x)cos x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lsin x – 3cos x = 0\cos x = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l an x = 3 = an alpha \cos x = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + kpi \x = fracpi 2 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai họ nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình: $2sin x – 3cos x = – 2.$
Ta có thể lựa lựa chọn 1 trong hai giải pháp sau:Cách 1: đổi khác phương trình về dạng:$frac2sqrt 13 sin x – frac3sqrt 13 cos x = – frac2sqrt 13 .$Đặt $frac2sqrt 13 = cos alpha $ cùng $frac3sqrt 13 = sin alpha $, khi ấy ta được:$sin xcos alpha – cos xsin alpha = – cos alpha $ $ Leftrightarrow sin (x – alpha ) = sin left( alpha – fracpi 2 ight)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – alpha = alpha – fracpi 2 + 2kpi \x – alpha = pi – alpha + fracpi 2 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2alpha – fracpi 2 + 2kpi \x = frac3pi 2 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai họ nghiệm.Cách 2: biến đổi phương trình về dạng:$2(1 + sin x) = 3cos x$ $ Leftrightarrow 2left( cos fracx2 + sin fracx2 ight)^2$ $ = 3left( cos ^2fracx2 – sin ^2fracx2 ight).$$ Leftrightarrow left< 2left( cos fracx2 + sin fracx2 ight) – 3left( cos fracx2 – sin fracx2 ight) ight>$$left( cos fracx2 + sin fracx2 ight) = 0.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20l5sin fracx2 – cos fracx2 = 0\cos fracx2 + sin fracx2 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l an fracx2 = frac15 = an alpha \ an fracx2 = – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lfracx2 = alpha + kpi \fracx2 = frac3pi 4 + kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2alpha + 2kpi \x = frac3pi 2 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai bọn họ nghiệm.
Chú ý: các em học sinh cần có thói quen kiểm tra đk $a^2 + b^2 ge c^2$ ra nháp trước khi đi giải phương trình bởi có khá nhiều bài thi đã nuốm tình tạo nên những phương trình không thoả mãn đk trên với mục tiêu kiểm tra kiến thức cơ phiên bản của các em. Cụ thể như đề thi ĐHGTVT – 2000.
Ví dụ 5: (ĐHGTVT – 2000): Giải phương trình: $2sqrt 2 (sin x + cos x)cos x = 3 + cos 2x.$
Biến đổi phương trình về dạng:$sqrt 2 sin 2x + sqrt 2 (1 + cos 2x) = 3 + cos 2x$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + (sqrt 2 – 1)cos 2x = 3 – sqrt 2 .$Ta có:$left{ eginarray*20la = sqrt 2 \b = sqrt 2 – 1\c = 3 – sqrt 2 endarray ight.$ $ Rightarrow left( eginarray*20la^2 + b^2 = 2 + (sqrt 2 – 1)^2 = 5 – 2sqrt 2 \c^2 = (3 – sqrt 2 )^2 = 11 – 6sqrt 2 endarray ight.$ $ Rightarrow a^2 + b^2 Vậy phương trình vô nghiệm.
Chú ý: việc lựa chọn những phép chuyển đổi lượng giác tương xứng trong nhiều trường vừa lòng ta sẽ kiếm được phép màn biểu diễn chẵn cho những họ nghiệm. Họ xem xét lấy một ví dụ sau:
Ví dụ 6: Giải phương trình: $(1 + sqrt 3 )sin x + (1 – sqrt 3 )cos x = 2.$
Cách 1: đổi khác phương trình về dạng:$frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 sin x + frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 cos x = frac1sqrt 2 .$Đặt $frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 = cos alpha $ thì $frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 = sin alpha $, khi ấy ta được:$sin xcos alpha + cos xsin alpha = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin (x + alpha ) = sin fracpi 4.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + alpha = fracpi 4 + 2dot kpi \x + alpha = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 4 – alpha + 2kpi \x = frac3pi 4 – alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai bọn họ nghiệm.Cách 2: đổi khác phương trình về dạng:$(sin x + cos x) + sqrt 3 (sin x – cos x) = 2$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight)$ $ – sqrt 6 cos left( x + fracpi 4 ight) = 2$ $ Leftrightarrow frac12sin left( x + fracpi 4 ight)$ $ – fracsqrt 3 2cos left( x + fracpi 4 ight) = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 4 ight)cos fracpi 3$ $ – cos left( x + fracpi 4 ight)sin fracpi 3 = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 4 – fracpi 3 ight) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – fracpi 12 = fracpi 4 + 2kpi \x – fracpi 12 = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 3 + 2kpi \x = frac5pi 6 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai bọn họ nghiệm.
dấn xét:Như vậy bằng phương pháp 1 ta kiếm được nghiệm của phương trình ko tường minh, trong lúc đó nếu thực hiện cách 2 ta thấy nghiệm của phương trình rất chẵn.Một vài ba tài liệu tham khảo giải phương trình bằng cách đặt $t = an fracx2$, dẫn đến phương trình:$(3 – sqrt 3 )t^2 – 2(1 + sqrt 3 )t + sqrt 3 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow t_1 = frac1sqrt 3 vee t_2 = fracsqrt 3 + 1sqrt 3 – 1.$+ cùng với $t_1 = frac1sqrt 3 $ ta được:$ an fracx2 = frac1sqrt 3 = an fracpi 6$ $ Leftrightarrow fracx2 = fracpi 6 + kpi $ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + 2kpi $, $k in Z.$+ với $t_2 = fracsqrt 3 + 1sqrt 3 – 1$ ta được:$ an fracx2 = fracsqrt 3 + 1sqrt 3 – 1$ $ = – frac an fracpi 3 + an fracpi 41 – an fracpi 3. an fracpi 4$ $ = – an frac7pi 12$ $ = an frac5pi 12.$$ Leftrightarrow fracx2 = frac5pi 12 + kpi $ $ Leftrightarrow x = frac5pi 6 + 2kpi $, $k in Z.$
Ví dụ 7: Giải phương trình: $2(sqrt 3 sin x – cos x)$ $ = 3sin 2x + sqrt 7 cos 2x.$
Biến đổi phương trình về dạng:$2sqrt 3 sin x – 2cos x$ $ = 3sin 2x + sqrt 7 cos 2x$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin x – frac12cos x$ $ = frac34sin 2x + fracsqrt 7 4cos 2x.$Đặt $frac34 = cos alpha $ với $fracsqrt 7 4 = sin alpha $, lúc đó ta được:$sin xcos fracpi 6 – cos xsin fracpi 6$ $ = sin 2xcos alpha + cos 2xsin alpha $ $ Leftrightarrow sin left( x – fracpi 6 ight) = sin (2x + alpha )$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x + alpha = x – fracpi 6 + 2kpi \2x + alpha = pi – x + fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – fracpi 6 – alpha + 2kpi \x = frac7pi 18 – fracalpha 3 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai bọn họ nghiệm.
Chú ý: ví dụ trên sẽ minh hoạ chũm thể phương thức giải phương trình dạng: $asin (kx) + bcos (kx)$ $ = csin (lx) + dcos (lx)$ $(I)$, với đk $a^2 + b^2 = c^2 + d^2.$Và sự mở rộng khác mang đến dạng phương trình trên như sau: $asin (kx) + bcos (kx)$ $ = sqrt a^2 + b^2 sin (lx)$ $(II).$Để minh hoạ ta để ý ví dụ sau:
Ví dụ 8: Giải phương trình: $2sin x(cos x – 1) = sqrt 3 cos 2x.$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$2sin xcos x – 2sin x = sqrt 3 cos 2x$ $ Leftrightarrow sin 2x – sqrt 3 cos 2x = 2sin x$ $(*).$$ Leftrightarrow frac12sin 2x – fracsqrt 3 2cos 2x = sin x$ $ Leftrightarrow sin 2xcos fracpi 3 – cos 2xsin fracpi 3 = sin x.$$ Leftrightarrow sin left( 2x – fracpi 3 ight) = sin x$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – fracpi 3 = x + 2kpi \2x – fracpi 3 = pi – x + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 3 + 2kpi \x = frac4pi 9 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai chúng ta nghiệm.
Nhận xét: Như vậy bởi một vài phép thay đổi lượng giác thông thường ta đã đưa phương trình thuở đầu về $(*)$ với đó chính là dạng $(II).$
ví dụ như 9: Giải phương trình:$sqrt 2 (sin x + sqrt 3 cos x)$ $ = sqrt 3 cos 2x – sin 2x.$
Biến đổi phương trình về dạng:$sqrt 2 left( frac12sin x + fracsqrt 3 2cos x ight)$ $ = fracsqrt 3 2cos 2x – frac12sin 2x.$$ Leftrightarrow sqrt 2 left( sin xcos fracpi 3 + cos xsin fracpi 3 ight)$ $ = sin fracpi 3cos 2x – cos fracpi 3sin 2x.$$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 3 ight)$ $ = sin left( fracpi 3 – 2x ight)$ $ = sin left( 2x + frac2pi 3 ight).$$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 3 ight)$ $ = 2sin left( x + fracpi 3 ight)cos left( x + fracpi 3 ight).$$ Leftrightarrow left< sqrt 2 – 2cos left( x + fracpi 3 ight) ight>sin left( x + fracpi 3 ight) = 0.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20lcos left( x + fracpi 3 ight) = fracsqrt 2 2\sin left( x + fracpi 3 ight) = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + fracpi 3 = pm fracpi 4 + 2kpi \x + fracpi 3 = kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 12 + 2kpi \x = – frac7pi 12 + 2kpi \x = – fracpi 3 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 10: đến phương trình: $sqrt 3 sin 2x – mcos 2x = 1.$a. Giải phương trình cùng với $m = 1.$b. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi $m.$
Với $m = 1$, phương trình bao gồm dạng:$sqrt 3 sin 2x – mcos 2x = 1$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin 2x – frac12cos 2x = frac12.$$ Leftrightarrow sin 2xcos fracpi 6 – cos 2xsin fracpi 6 = frac12$ $ Leftrightarrow sin left( 2x – fracpi 6 ight) = sin fracpi 6.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – fracpi 6 = fracpi 6 + 2kpi \2x – fracpi 6 = pi – fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 6 + kpi \x = fracpi 2 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy cùng với $m =1$ phương trình gồm hai chúng ta nghiệm.b. Ta có: $a^2 + b^2 = 3 + m^2 > 1 = c^2$, $forall m.$Vậy phương trình có nghiệm với mọi $m.$
ví dụ 11: (ĐHKT – 2001): Giải và biện luận phương trình:$4m(sin x + cos x)$ $ = 4m^2 + 2(cos x – sin x) + 3.$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$2(2m + 1)sin x + 2(2m – 1)cos x$ $ = 4m^2 + 3.$Xét hiệu:$a^2 + b^2 – c^2$ $ = 4(2m + 1)^2 + 4(2m – 1)^2 – left( 4m^2 + 3 ight)^2$ $ = – left( 16m^4 – 8m^2 + 1 ight)$ $ = – left( 4m^2 – 1 ight)^2 le 0.$Vậy phương trình chỉ tất cả nghiệm $ Leftrightarrow a^2 + b^2 – c^2 = 0$ $ Leftrightarrow m = pm frac12.$+ với $m = frac12$, phương trình gồm dạng:$sin x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 2 + 2kpi $, $k in Z.$+ với $m = – frac12$, phương trình có dạng:$cos x = 1$ $ Leftrightarrow x = 2kpi $, $k in Z.$+ với $m e pm frac12$, phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 12: đến phương trình:$(m + 2)sin x – 2mcos x = 2m + 2$ $(1).$a. Giải phương trình cùng với $m = -2.$b. Search $m$ nhằm phương trình tất cả nghiệm ở trong $left< – fracpi 2,0 ight>.$
Xét hai trường hợp:+ cùng với $cos fracx2 = 0$ $ Leftrightarrow fracx2 = fracpi 2 + kpi $ $ Leftrightarrow x = pi + 2kpi $, thế vào phương trình ta được:$(m + 2)sin (pi + 2kpi ) – 2mcos (pi + 2kpi )$ $ = 2m + 2$ $ Leftrightarrow 2m = 2m + 2$ (Mâu thuẫn).Vậy $x = pi + 2kpi $, $k in Z$ không nên là nghiệm của phương trình với mọi $m.$+ cùng với $cos fracx2 e 0$ $ Leftrightarrow fracx2 e fracpi 2 + kpi $ $ Leftrightarrow x e pi + 2kpi $, $k in Z.$Đặt $t = an fracx2$, suy ra: $sin x = frac2t1 + t^2$ cùng $cos x = frac1 – t^21 + t^2.$Khi đó phương trình $(1)$ có dạng:$frac(m + 2)t1 + t^2 – frac2mleft( 1 – t^2 ight)1 + t^2 = 2m + 2$ $ Leftrightarrow t^2 – (m + 2)t + 2m + 1 = 0$ $(2).$a. Cùng với $m = -2$, phương trình $(2)$ bao gồm dạng:$t^2 – 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lt = sqrt 3 \t = – sqrt 3 endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l an fracx2 = sqrt 3 \ an fracx2 = – sqrt 3 endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lfracx2 = fracpi 3 + kpi \fracx2 = – fracpi 3 + kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = pm frac2pi 3 + 2kpi $, $k in Z.$Vậy với $m = -2$, phương trình bao gồm hai chúng ta nghiệm.b. Vị $x in left< – fracpi 2,0 ight>$ $ Leftrightarrow fracx2 in left< – fracpi 4,0 ight>$ suy ra $t in < – 1,0>.$Cách 1: Để $(1)$ bao gồm nghiệm thuộc $left< – fracpi 2,0 ight> Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thuộc $< – 1,0>.$$ Leftrightarrow $ $left< eginarraylleft( 2 ight) m:có:1:nghiệm:thuộc:< – 1,0>\left( 2 ight) m:có:1:nghiệm:thuộc:< – 1,0>endarray ight..$$ Leftrightarrow left< {eginarray*20lf( – 1)f(0) le 0\left eginarray*20lDelta ge 0\af( – 1) ge 0\af(0) ge 0\ – 1 le fracS2 le 0endarray ight.endarray ight.$ $left< eginarrayl(3m + 4)(2m + 1) le 0\left{ eginarray*20lm^2 – 4m ge 0\3m + 4 ge 0\2m + 1 ge 0\ – 1 le fracm + 22 le 0endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow – frac43 le m le – frac12.$Vậy cùng với $ – frac43 le m le – frac12$ phương trình gồm nghiệm.Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng:$fract^2 – 2t + 1t – 2 = m.$Phương trình $(1)$ bao gồm nghiệm $ Leftrightarrow $ mặt đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = fract^2 – 2t + 1t – 2$ trên đoạn $< – 1,0>.$Xét hàm số $(C):y = fract^2 – 2t + 1t – 2$ bên trên đoạn $< – 1,0>.$Đạo hàm:$y’ = fract^2 – 4t + 3(t – 2)^2 > 0$ với mọi $t in < – 1,0>$ $ Leftrightarrow $ hàm số đồng trở nên trên $left< – 1,0 ight>.$Do đó mặt đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $(C)$ bên trên đoạn $< – 1,0>.$$ Leftrightarrow y( – 1) le m le y(0)$ $ Leftrightarrow – frac43 le m le – frac12.$Vậy với $ – frac43 le m le – frac12$ phương trình tất cả nghiệm.
Ví dụ 13: mang lại phương trình: $sqrt 3 sin x + cos x = m$ $(1).$a. Giải phương trình với $m = -1.$b. Biện luận theo $m$ số nghiệm trực thuộc $left( – fracpi 6,2pi ight>$ của phương trình.
a. Với $m = -1$, phương trình bao gồm dạng:$sqrt 3 sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin x + frac12cos x = – frac12$ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 6 ight) = sin left( – fracpi 6 ight).$$ Leftrightarrow left< eginarray*20cx + fracpi 6 = – fracpi 6 + 2kpi \x + fracpi 6 = pi + fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – fracpi 3 + 2kpi \x = pi + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy cùng với $m = – 1$ phương trình tất cả hai bọn họ nghiệm.b. Số nghiệm của phương trình thông qua số giao điểm của đường thẳng $y = m$ với phần thiết bị thị hàm số $y = sqrt 3 sin x + cos x$ trên $D = left( – fracpi 6,2pi ight>.$Xét hàm số: $y = sqrt 3 sin x + cos x.$Miền xác định: $D = left( – fracpi 6,2pi ight>.$Đạo hàm:$y’ = sqrt 3 cos x – sin x.$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 3 cos x – sin x = 0$ $ Leftrightarrow cos left( x + fracpi 6 ight) = 0$ $mathop Leftrightarrow limits^x in D left< eginarray*20lx = pi /3\x = 4pi /3endarray ight..$Bảng biến thiên:
Kết luận:+ với $|m|>2$, phương trình vô nghiệm.+ với $m = pm 2$, phương trình bao gồm $1$ nghiệm ở trong $D.$+ với $ – 2 + với $0 lấy một ví dụ 14: Biện luận theo $m$ số nghiệm ở trong $left< 0,frac3pi 2 ight>$ của phương trình: $msin x + cos x = 2m$ $(1).$
Biến đổi phương trình về dạng:$cos x = m(2 – sin x)$ $ Leftrightarrow fraccos x2 – sin x = m.$Số nghiệm của phương trình thông qua số giao điểm của con đường thẳng $y = m$ với trang bị thị hàm số $y = fraccos x2 – sin x$ trên $D = left< 0,frac3pi 2 ight>.$Xét hàm số: $y = fraccos x2 – sin x.$Miền xác định: $D = left< 0,frac3pi 2 ight>.$Đạo hàm:$y’ = frac – sin x(2 – sin x) + cos xcos x(2 – sin x)^2$ $ = frac1 – 2sin x(2 – sin x)^2.$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 1 – 2sin x = 0$ $ Leftrightarrow sin x = frac12$ $mathop Leftrightarrow limits^x in D left< eginarray*20lx = pi /6\x = 5pi /6endarray ight..$Bảng biến đổi thiên:
Kết luận:+ cùng với $|m| > frac1sqrt 3 $, phương trình vô nghiệm.+ cùng với $m = pm frac1sqrt 3 $ hoặc $0 + với $ – frac1sqrt 3 ví dụ như 15: đến phương trình: $sqrt 3 sin x + mcos x = 1.$Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2 in <0,2pi )$ làm thế nào để cho $x_1 + x_2 = frac2pi 3.$
Điều kiện cần: trả sử phương trình gồm nghiệm $x = alpha in left< 0,frac2pi 3 ight>$, lúc ấy $x = frac2pi 3 – alpha $ cũng là nghiệm, như vậy:$left{ eginarray*20lsqrt 3 sin alpha + mcos alpha = 1\sqrt 3 sin left( frac2pi 3 – alpha ight) + mcos left( frac2pi 3 – alpha ight) = 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lmcos alpha = 1 – sqrt 3 sin alpha \mleft( – frac12cos alpha + fracsqrt 3 2sin alpha ight) = 1 – sqrt 3 left( fracsqrt 3 2cos alpha + frac12sin alpha ight)endarray ight..$$ Rightarrow fraccos alpha – cos alpha + sqrt 3 sin alpha $ $ = frac1 – sqrt 3 sin alpha 2 – 3cos alpha – sqrt 3 sin alpha .$$ Leftrightarrow (2 – 3cos alpha – sqrt 3 sin alpha )cos alpha $ $ = ( – cos alpha + sqrt 3 sin alpha )(1 – sqrt 3 sin alpha ).$$ Leftrightarrow 3cos 2alpha + sqrt 3 sin 2alpha $ $ = 3cos alpha – sqrt 3 sin alpha .$$ Leftrightarrow fracsqrt 3 2cos 2alpha + frac12sin 2alpha $ $ = fracsqrt 3 2cos alpha – frac12sin alpha .$$ Leftrightarrow cos 2alpha cos fracpi 6 + sin 2alpha sin fracpi 6$ $ = cos alpha cos fracpi 6 – sin alpha cos fracpi 6.$$ Leftrightarrow cos left( 2alpha – fracpi 6 ight) = cos left( alpha + fracpi 6 ight).$$ Leftrightarrow left< eginarray*20l2alpha – fracpi 6 = alpha + fracpi 6 + 2kpi \2alpha – fracpi 6 = – alpha – fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lalpha = fracpi 3 + 2kpi \alpha = frac2kpi 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lalpha = fracpi 3\alpha = 0\alpha = frac2pi 3endarray ight..$+ cùng với $alpha = fracpi 3$, cố gắng vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin fracpi 3 + mcos fracpi 3 = 1$ $ Leftrightarrow m = – 1.$+ với $alpha = 0$, thay vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin 0 + mcos 0 = 1$ $ Leftrightarrow m = 1.$+ cùng với $alpha = frac2pi 3$, nuốm vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin frac2pi 3 + mcos frac2pi 3 = 1$ $ Leftrightarrow m = 1.$Vậy với $m = pm 1$ là đk cần.Điều kiện đủ:+ cùng với $m = 1$, cụ vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin x + cos x = 1$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin x + frac12cos x = frac12$ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 6 ight) = sin fracpi 6.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + fracpi 6 = fracpi 6 + 2kpi \x + fracpi 6 = pi – fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2kpi \x = frac2pi 3 + 2kpi endarray ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^x in left< 0,2pi ight) left< eginarray*20lx_1 = 0\x_2 = frac2pi 3endarray ight..$Nhận xét rằng lúc ấy $x_1 + x_2 = frac2pi 3$, vì thế $m = 1$ thoả mãn.+ cùng với $m = -1$: bạn đọc tự có tác dụng tương tự.
II. CÁC BÀI TOÁN THIBài 1: (ĐHMĐC – 1995): Giải phương trình: $3sin 3x – sqrt 3 cos 9x = 1 + 4sin ^33x.$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$3sin 3x – 4sin ^33x – sqrt 3 cos 9x = 1$ $ Leftrightarrow sin 9x – sqrt 3 cos 9x = 1.$Bạn phát âm tự giải tiếp.
Bài 2. (ĐHMTCN – 1996): Giải phương trình:$cos 7xcos 5x – sqrt 3 sin 2x$ $ = 1 – sin 7xsin 5x.$
Biến đổi phương trình về dạng:$cos 7xcos 5x + sin 7xsin 5x$ $ – sqrt 3 sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow cos 2x – sqrt 3 sin 2x = 1.$Bạn đọc tự giải tiếp.
Bài 3: (ĐHKTQD – 1997): Tìm các nghiệm thuộc khoảng chừng $left( frac2pi 5,frac6pi 7 ight)$ của phương trình: $sqrt 3 sin 7x – cos 7x = sqrt 2 .$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin 7x – frac12cos 7x = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow sin 7xcos fracpi 6 – cos 7xsin fracpi 6 = fracsqrt 2 2.$$ Leftrightarrow sin left( 7x – fracpi 6 ight) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l7x – fracpi 6 = fracpi 4 + 2kpi \7x – fracpi 6 = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = frac5pi 84 + frac2kpi 7\x = frac11pi 84 + frac2kpi 7endarray ight.$, $k in Z.$+ Với chúng ta nghiệm $x = frac5pi 84 + frac2kpi 7$, ta được:$frac2pi 5 lúc ấy ta được nghiệm: $x_1 = frac5pi 84 + frac4pi 7 = frac53pi 84.$+ Với họ nghiệm $x = frac11pi 84 + frac2kpi 7$, ta được:$frac2pi 5 lúc đó ta được nghiệm: $x_2 = frac11pi 84 + frac2pi 7 = frac35pi 84$ cùng $x_3 = frac11pi 84 + frac4pi 7 = frac59pi 84.$
Bài 4: đến phương trình:a. Giải phương trình cùng với $m = sqrt 3 .$b. Tìm $m$ nhằm phương trình tất cả $4$ nghiệm khác nhau thuộc $left( – pi ,frac7pi 3 ight).$
a. Bạn đọc tự giải.b. Chuyển đổi phương trình về dạng:$sin x = m(1 – cos x)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20ccos x = 1\fracsin x1 – cos x = mendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 vee x = 2pi \fracsin x1 – cos x = m:(*)endarray ight..$Vậy nhằm phương trình lúc đầu có $4$ nghiệm tách biệt thuộc $left( – pi ,frac7pi 3 ight)$ đk là phương trình $(*)$ tất cả $2$ nghiệm phân biệt thuộc $left( – pi ,frac7pi 3 ight).$Số nghiệm của phương trình $(*)$ bằng số giao điểm của mặt đường thẳng $y = m$ với trang bị thị hàm số $y = fracsin x1 – cos x$ bên trên $D = left( – pi ,frac7pi 3 ight).$Xét hàm số $y = fracsin x1 – cos x.$Miền xác minh $D = left( – pi ,frac7pi 3 ight).$Đạo hàm $y’ = fraccos x – 1(1 – cos x)^2 le 0$, $forall x in D.$Bảng vươn lên là thiên:
Khi đó với $m le 0 vee m ge sqrt 3 $ phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm rành mạch thuộc khoảng tầm $left( – pi ,frac7pi 3 ight).$
Bài 5: (ĐHTCKT thành phố hcm – 1995): mang đến phương trình: $msin x + (m + 1)cos x + 1 = 0.$Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2 in <0,2pi >$ với hai nghiệm này bí quyết nhau $fracpi 2.$
Điều kiện cần: đưa sử phương trình có nghiệm $x = alpha in left< 0,frac3pi 2
ight>$, khi ấy $x = alpha + fracpi 2$ cũng chính là nghiệm, như vậy:$left{ eginarray*20lmsin alpha + (m + 1)cos alpha + 1 = 0\msin left( alpha + fracpi 2
ight) + (m + 1)cos left( alpha + fracpi 2
ight) + 1 = 0endarray
ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lmsin alpha + (m + 1)cos alpha + 1 = 0\mcos alpha – (m + 1)sin alpha + 1 = 0endarray
ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lm(sin alpha + cos alpha ) = – 1 – cos alpha \m(cos alpha – sin alpha ) = sin alpha – 1endarray
ight..$$ Rightarrow fracsin alpha + cos alpha cos alpha – sin alpha = frac1 + cos alpha 1 – sin alpha .$$ Leftrightarrow (sin alpha + cos alpha )(1 – sin alpha )$ $ = (cos alpha – sin alpha )(1 + cos alpha )$ $ Leftrightarrow sin alpha = frac12$ $ Leftrightarrow alpha = fracpi 6$ hoặc $alpha = frac5pi 6.$+ với $alpha = fracpi 6$, cầm cố vào phương trình ta được:$msin fracpi 6 + (m + 1)cos fracpi 6 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow m = – frac1 + sqrt 3 2.$+ với $alpha = frac5pi 6$, cụ vào phương trình ta được:$msin frac5pi 6 + (m + 1)cos frac5pi 6 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow m = – frac1 – sqrt 3 2.$Vậy với $m = – frac1 pm sqrt 3 2$ là điều kiện cần.Điều kiện đủ: bạn đọc tự giải.
Xem thêm: Chuyên Đề Hình Học Thi Vào 10 Thường Gặp, Full 8 Chuyên Đề Hình Học Ôn Thi Vào 10
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊBài tập 1: Giải các phương trình sau:a. $cos ^2x – sqrt 3 sin 2x = sin ^3x + 1.$b. $3sin x – sqrt 3 cos 3x = 4sin ^3x – 1.$
Bài tập 2: Giải những phương trình sau:a. $2cos x(sin x – 1) = sqrt 3 cos 2x.$b. $2sin 3x – sin 2x + sqrt 3 cos 2x = 0.$
Bài tập 3: Giải những phương trình sau:a. $3sin 2x + 4cos 2x + 5cos 2003x = 0.$b. $sqrt 3 sin 4x – cos 4x = sin x – sqrt 3 cos x.$
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:a. $sqrt 3 sin left( x – fracpi 3 ight) + sin left( x + fracpi 6 ight)$ $ – 2sin 1972x = 0.$b. $sin x = frac13(3 – sqrt 3 cos x).$
Bài tập 5: Giải những phương trình sau:a. $sin 2x + (sqrt 3 – 2)cos 2x = 1.$b. $(1 – sqrt 3 )sin x + (1 + sqrt 3 )cos x = 2.$
Bài tập 6: Giải các phương trình sau:a. $3cos x – sin 2x = sqrt 3 (cos 2x + sin x).$b. $sqrt 2 cos left( fracx5 – fracpi 12 ight) – sqrt 6 sin left( fracx5 – fracpi 12 ight)$ $ = 2sin left( fracx5 + frac2pi 3 ight) – 2sin left( frac3x5 + fracpi 6 ight).$
Bài tập 7: đến phương trình: $(m – 1)sin x – cos x = 1.$a. Giải phương trình với $m = 1.$b. Kiếm tìm $m$ để phương trình gồm nghiệm nằm trong $left<-fracpi2, fracpi2 ight>$
Bài tập 8: mang đến phương trình: $msin x + 2cos x = 1 – m.$a. Giải phương trình cùng với $m = 2sqrt 3 .$b. Tìm kiếm $m$ để phương trình gồm nghiệm trực thuộc $left< – fracpi 2,fracpi 2 ight>.$
Bài tập 9: cho phương trình: $sqrt 3 sin x – cos x = m.$a. Giải phương trình cùng với $m = 1.$b. Biện luận theo $m$ số nghiệm nằm trong $left( – frac5pi 6,3pi ight>$ của phương trình.
Bài tập 10: kiếm tìm $m$ nhằm phương trình sau có hai nghiệm $x_1,x_2 in <0,2pi >$ và hai nghiệm này giải pháp nhau $fracpi 2.$
Bài tập 11: Giải với biện luận theo $m$ phương trình:$fraca – bcos xsin x = frac2sqrt a^2 – b^2 an y1 + an ^2y.$
bài tập 12: Giải và biện luận theo $m$ phương trình: $msin x + (2m – 1)cos x = 3m – 1$ cùng với $0