chungcutuhiepplaza.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

*



Bạn đang xem: Tìm giá trị nhỏ nhất

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

Nội dung bài viết Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức:A GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1. Cho biểu thức f(x, y…) Ta nói M là giá trị lớn nhất(GTLN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: – Với mọi x, y,… để f(x, y…) xác định thì f(x, y…) ≤ M (M là hằng số) (1) – Tồn tại x0, y0,… sao cho f(x0, y0…) = M (2) 2. Cho biểu thức f(x, y…) Ta nói m là giá trị nhỏ nhất(GTNN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: – Với mọi x, y,… để f(x, y…) xác định thì f(x, y…) ≥ m (m là hằng số) (1’) – Tồn tại x0, y0,… sao cho f(x0, y0…) = m (2’) 3. Chú ý rằng nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa thể nói gì về cực trị của một biểu thức. Chẳng hạn, xét biểu thức A = (x − 1)2 + (x − 3)2. Mặc dù ta có A ≥ 0, nhưng chưa thể kết luận được min A = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0. VÍ DỤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x − 1)2 + (x − 3)2. LỜI GIẢI. Ta có A = x 2 − 2x + 1 + x 2 − 6x + 9 = 2(x 2 − 4x + 5) = 2(x − 2)2 + 2 ≥ 2. A = 2 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2. Vậy min A = 2 khi và chỉ khi x = 2. B TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT BIẾN 1. Tam thức bậc hai VÍ DỤ 2. 1 Tìm GTNN của A = 2x 2 − 8x + 1. 2 Tìm GTLN của B = −5x 2 − 4x + 1. 3 Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c.Tìm GTNN của P nếu a > 0. Tìm GTLN của P nếu a 0 thì a x + b 2a ≥ 0, do đó P ≥ k; min P = k khi và chỉ khi x = − b 2a. Nếu a 0. C lớn nhất ⇔ C 2 lớn nhất với C > 0. VÍ DỤ 10. Tìm GTNN của A = x 4 + 1 (x 2 + 1)2. LỜI GIẢI. Chú ý rằng A > 0 nên A lớn nhất ⇔ 1 A nhỏ nhất và A nhỏ nhất ⇔ 1 A lớn nhất. Ta có 1 A = (x 2 + 1)2 x 4 + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 x 4 + 1 = 1 + 2x 2 x 4 + 1. Tìm GTLN của A: Ta có 2x 2 ≥ 0, x 4 + 1 > 0 nên 2x 2 x 4 + 1 ≥ 0. Suy ra 1 A ≥ 1 + 0 = 1. min 1 A = 1 khi và chỉ khi x = 0. Do đó max A = 1 khi và chỉ khi x = 0. Tìm GTNN của A: Ta có 2x 2 ≤ x 4 + 1 (dễ chứng minh, dấu “= ”xảy ra khi và chỉ khi x 2 = 1) mà x 4 + 1 > 0 nên 2x 2 x 4 + 1 ≤ 1. Suy ra 1 A ≤ 1 + 1 = 2. max 1 A = 2 khi và chỉ khi x 2 = 1. Do đó min A = 1 2 khi và chỉ khi x = ±1. 4! 1. Cách khác tìm GTLN của A A = (x 2 + 1)2 − 2x 2 (x 2 + 1)2 = 1 − 2x 2 (x 2 + 1)2 ≤ 1. max A = 1 khi và chỉ khi x = 0. 2. Cách khác tìm GTNN của A Cách 1. Đặt 1 x 2 + 1 = y như Ví dụ 5. Cách 2. A = 2x 4 + 2 (x 2 + 1)2 = (x 2 + 1) + (x 2 − 1)2 2(x 2 + 1)2 = 1 2 + (x 2 − 1)2 2(x 2 + 1)2 ≥ 1 2.

Xem thêm: 23 Món Hạt Mít Luộc, Món Ăn Tưởng Đơn Giản Nhưng Thơm Ngon Bất Ngờ

min A = 1 2 khi và chỉ khi x = ±1. 4! Khi giải toán cực trị, nhiều khi ta cần xét nhiều khoảng giá trị của biến, sau đó so sánh các giá trị của biểu thức trong các khoảng ấy để tìm GTNN, GTLN.